函数的不动点(Fixed point)

在数学中,函数的不动点(Fixed point, or shortened to fixpoint, also knowns as invariant point),指的是在函数定义域内的某一个值,经过函数映射后的值还是其本身。

也就是说如果 c 是函数 f(c) 的不动点,则有:


fixed_point

由上面很容易进行递归推导:


fixed_point2

满足这样经过有限次迭代后仍然返回相同值得点,被称为周期不动点(period points),且周期为1。

如果函数不止一个不动点,则将这些不动点组成的集合成为不动点集(fixed set),从图像上来看,不动点就是函数f(x)曲线与直线y=x的交点。图 1 显示了一个有3个不动点的函数曲线。


fixed_set
图 1 一个具有3个不动点的函数

当然,并不是所有的函数都有不动点,比如函数f(x)=x+1,就不存在,因为x=x+1在实数范围内并不成立。

此外,还有一种特别的不动点:吸性不动点(attractive fixed points),指的是,对于一个函数的不动点x0,在其邻域内,比较接近x0的点,在下面的迭代函数序列:


sequence

收敛于x0,详见 Banach fixed-point theorem

以 cos 函数为例,令x1 = -1,进行迭代计算:


cos

经过迭代后,如图 2 收敛于 cos 函数的不动点(约为0.739085133)处。


iterations
图 2 cos 函数迭代收敛至其不动点处

在 cos 函数这种情形下,初始值为任意值都可以,并没要求足够接近(close enough)不动点。有些情形下不动点并不具备吸性不动点的特性,例如 x=0 是 f(x)=2x的不动点,单是对于非0的任一点经过上述的迭代序列后,并不会收敛到0。如果一个连续可微的函数,在不动点x0开区间邻域内函数一阶导师绝对值小于1,那么也能保证不定点x0具有吸性不动点的特性。


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